Sudenkuopat tuoton laskennassa

Kuva: pandemiclabs.com

Tuoton laskennassa käytetään yleisesti tavallista keskiarvoa, jonka perusteella voidaan arvioida kuinka paljon joku rahasto, sijoitusstrategia tai oma salkku on tuottanut keskimäärin vuodessa. Tuottojen arvioiminen ja tarkasteleminen on hyvin tärkeää, mutta tavalliseen aritmeettiseen keskiarvoon perustetut laskemat saattavat johtaa yllättäviin virhearviointeihin oikeasta sijoittajan saamasta vuosittaisesta tuotosta!

Havainnollistan väitteeni yhden testaamani sijoitusstrategian ja sen vuosituottojen avulla.

Strategian tuotot ja aritmeettinen keskiarvo

Alhaalla olevassa taulokossa on yhden testaamani strategian vuosituotot. Sijoitustuotot näyttävät todella hyviltä, kuten esimerkiksi vuosien 3, 10 ja 20 yli 100% vuosituotot kertovat. Vuosittainen keskiarvotuottokin on maaginen 21,6%, joka on huikeasti yli pörssien keskimääräisen historiallisen 7-10% vuosituoton! Olenko siis löytänyt todellisen kultakaivoksen?

year	Returns
1	-38,8 %
2	17,4 %
3	123,7 %
4	-13,0 %
5	12,0 %
6	2,4 %
7	46,1 %
8	-8,9 %
9	-32,6 %
10	131,3 %
11	-33,6 %
12	25,7 %
13	-42,8 %
14	144,0 %
15	-35,3 %
16	-17,4 %
17	20,6 %
18	-43,1 %
19	-61,8 %
20	228,1 %
21	30,4 %
Average	21,6 %
Median	2,4 %

Tässä vaiheessa en malta enää pysyä housuissani ja mahdollinen ajatuksen kulkuni strategian löydöksistä menisi ehkä näin: "Tuotot näyttävät loistavilta! Jos olisin sijoittanut tähän strategiaan vuoden 1 alussa 10 000 dollaria niin olisin nyt pirun rikas! Näiden 21 vuoden aikana sijoitukseni olisi kasvanut 10 000 dollarista 610 803 dollariin eikö niin (10 000 * 1,216^21)? Hieman kyllä askarruttaa miksi mediaani on noin alhainen; kai se ei ota huomioon näitä isoimpia vuosituottoja, jotka kuitenkin loppupeleissä tekee strategiasta vastustomattoman"

Strategia ja geometrinen keskiarvo

Ikävä kyllä, edeltävässä tuottosarjassa on kuitenkin sudenkuoppa sijoittajalle. Jos tuottoja arvioidaan pelkän aritmeettisen keskiarvon perusteella, niin todellisuus saattaa hämärtyä pelottavasti, joka johtaa väärän päätelmän tekemiseen. Tavallinen keskiarvo on kyllä hyvä lähtökohta laskea portfolion tai rahaston tuottoja, mutta autuaaksi se ei tee. Sijoittajan saama tuotto ei ole näiden vuosien keskiarvo, vaan vuosittainen tulos, joka toimii seuraavan vuoden lähtökohtana!

Tuottojen geometrinen keskiarvo lasketaan seuraavasti:

Lähde: Wikipedia

Eli jokaisen vuoden tuotto kerrotaan keskenään ja tuloksesta otetaan n nelijuuri. Sijoitustuottojen kohdalla vuosituotoihin pitää aina lisätä 1, jotta voidaan laskea geometrinen keskiarvo (negatiiviset arvot pois). Eli suomeksi sanottuna esimerkkini vuosituotoihin lisätään 1, jolloin saadaan alla olevan taulukon 3 sarake. Nämä luvut kerrotaan keskenään ja niistä otetaan vuosihavaintojen lukumäärän mukainen neliöjuuri. Lisäksi saadusta vastauksesta pitää vielä vähentää lisätty luku 1, jotta tulos vastaa oikeaa. Englannin kielisessä sijoituskirjallisuudessa näkee usein lyhenteen CAGR (Compound annual growth rate), joka vastaa geometristä keskiarvoa.

Näistä yksinkertaisista  esimerkeistä voi huomata kahden laskutavan eron:

Strategian vuosituotot: Vuosi 1: 30%, Vuosi 2: -20%, Vuosi 3: 25% ja Vuosi 4: -10%

Strategian tavallinen keskiarvo: (30%-20%+25%-10%) / 4 = 6,25%
Strategian geometrinen keskiarvo: (1,3 * 0,8 * 1,25 * 0,9)^(1/)4 - 1 = 4%

Sijoittajan valheellinen kokonaistuotto: (1,0625)^4 - 1 = 27,4%
Sijoittajan todellinen kokonaistuotto: (1,3 * 0,8 * 1,25 * 0,9) - 1 = 17%


Jatketaan aikaisemmin esitellyn varsinaisen strategian parissa ja katsotaan miten se olisi pärjännyt geometrisen keskiarvon ja sijoittajan todellisen vuosituoton näkökulmasta.

(Geometrinen keskiarvo esimerkissämme: (0,61199*1,17372*...*3,281*1,30361)^(1/21)-1)

year	Returns	Gross return
1	-0,38801	0,61199
2	0,17372	1,17372
3	1,23732	2,23732
4	-0,13041	0,86959
5	0,12005	1,12005
6	0,02419	1,02419
7	0,46071	1,46071
8	-0,08927	0,91073
9	-0,32624	0,67376
10	1,31298	2,31298
11	-0,3356	0,6644
12	0,25678	1,25678
13	-0,42784	0,57216
14	1,43999	2,43999
15	-0,35315	0,64685
16	-0,17419	0,82581
17	0,20623	1,20623
18	-0,43118	0,56882
19	-0,61826	0,38174
20	2,281	3,281
21	0,30361	1,30361
Average	21,6 %
Median	2,4 %
CAGR		4,1 %
Total return		131,8 %
Saatu tuotto		$         23 185
Luultu tuotto		$      610 803

Kun laskemme sijoittajan saaman todellisen vuosituoton (CAGR=4,1%), niin se poikkeaa täysin laskemastamme tavallisesta vuosikeskiarvosta (21,6%). Myös havaittu kokonaistuotto pienenee 23 185 dollariin, joka vastaa murto-osaa aiemmin keskiarvon perusteelle laskemastamme tuotosta. Esimerkki on loistava näyte siitä, että vaikka strategia saattaa näyttää hyvältä ensi katsomalta, niin sitä kannattaa vielä käydä läpi useampien lasketoimitusten kautta. Varsinkin jos strategian tai rahaston volatiliteetti (keskihajonta), eli tuottojen heilunta, on suurta vuosien välillä, niin silloin on suuri vaara tehdä virheellinen päätelmä strategian oikeasta tuottotasosta.

Yhteenveto

Kun lasketaan tai arvioidaan eri sijoitusstrategioiden ja myös rahastojen tuottoja, niin on aina syytä käyttää geometristä keskiarvoa laskutoimituksissa. Tavallinen keskiarvo saattaa antaa liian ruusuisen kuvan saatavista olevista tuotoista, joka pahimmillaan saattaa jopa johtaa pääomien tuhoutumiseen. Varsinkin jos vuosittaiset tuotot eroavat toisistaan paljon, niin on aina syytä laskea tavallisen keskiarvon sijaan geometrinen keskiarvo!

*Ota osaa keskusteluun sijoittamisesta ja seuraa samalla kirjoittajan ajatuksia Twitterissä (@Osinkopuu)!